Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elxp |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ( V × V ) × V ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) ) |
2 |
|
ancom |
⊢ ( ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
3 |
2
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
4 |
|
19.42vv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ↔ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
5 |
|
elvv |
⊢ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
6 |
5
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ↔ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
7 |
|
vex |
⊢ 𝑧 ∈ V |
8 |
7
|
biantru |
⊢ ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ↔ ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) |
9 |
4 6 8
|
3bitr2i |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ↔ ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) |
10 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ 𝑤 ∈ ( V × V ) ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ↔ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) ) |
11 |
3 9 10
|
3bitrri |
⊢ ( ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ) |
12 |
11
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ) |
13 |
|
exrot4 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ) |
14 |
|
excom |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ) |
15 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ V |
16 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 〈 𝑤 , 𝑧 〉 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
17 |
16
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ↔ 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) ) |
18 |
15 17
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
19 |
18
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑧 ∃ 𝑤 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑧 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
20 |
14 19
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑧 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
21 |
20
|
2exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝑤 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
22 |
12 13 21
|
3bitr2i |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑧 ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑧 〉 ∧ ( 𝑤 ∈ ( V × V ) ∧ 𝑧 ∈ V ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |
23 |
1 22
|
bitri |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ( V × V ) × V ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 𝐴 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ) |