Theorem facp2

Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024)

	Ref	Expression
Assertion	facp2	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 2 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ )
2		ax-1cn	⊢ 1 ∈ ℂ
3		addass	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) )
4	2 2 3	mp3an23	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) )
5	1 4	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) )
6		df-2	⊢ 2 = ( 1 + 1 )
7	6	oveq2i	⊢ ( 𝑁 + 2 ) = ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) )
8	7	eqcomi	⊢ ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 2 )
9	8	a1i	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + ( 1 + 1 ) ) = ( 𝑁 + 2 ) )
10	5 9	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) = ( 𝑁 + 2 ) )
11	10	fveq2d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) = ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) )
12		peano2nn0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
13		facp1	⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) )
14	12 13	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) )
15	11 14	eqtr3d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) )
16	10	oveq2d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( ( 𝑁 + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) )
17	15 16	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) )
18		facp1	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) )
19	18	oveq1d	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ! ‘ ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) )
20	17 19	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) )
21		faccl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ )
22		nncn	⊢ ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℕ → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ )
23	21 22	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ )
24		nn0cn	⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
25	12 24	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
26		2cn	⊢ 2 ∈ ℂ
27		addcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℂ )
28	26 27	mpan2	⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℂ )
29	1 28	syl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℂ )
30		mulass	⊢ ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝑁 + 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 2 ) ) ) )
31	23 25 29 30	syl3anc	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( 𝑁 + 1 ) ) · ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 2 ) ) ) )
32	20 31	eqtrd	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ! ‘ ( 𝑁 + 2 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) · ( ( 𝑁 + 1 ) · ( 𝑁 + 2 ) ) ) )