Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fdifsupp.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 ) |
2 |
|
fdifsupp.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊 ) |
3 |
|
fdifsupp.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴 ) |
4 |
|
difssd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ⊆ 𝐴 ) |
5 |
3 4
|
fnssresd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) Fn ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) |
6 |
1
|
difexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ V ) |
7 |
|
elsuppfn |
⊢ ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) Fn ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
8 |
5 6 2 7
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
9 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
10 |
9
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) |
11 |
10
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
12 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) |
13 |
12
|
fvresd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
14 |
13
|
neeq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) |
15 |
14
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
16 |
|
an32 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) |
17 |
16
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
18 |
11 15 17
|
3bitr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ) |
19 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
20 |
1
|
elexd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ V ) |
21 |
|
elsuppfn |
⊢ ( ( 𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
22 |
3 20 2 21
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ) ) |
23 |
22
|
anbi1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ) |
24 |
19 23
|
bitr2id |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ≠ 𝑍 ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∖ 𝐵 ) ) ) |
25 |
8 18 24
|
3bitrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) supp 𝑍 ) ↔ 𝑥 ∈ ( ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∖ 𝐵 ) ) ) |
26 |
25
|
eqrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ↾ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ) supp 𝑍 ) = ( ( 𝐹 supp 𝑍 ) ∖ 𝐵 ) ) |