Theorem flsubz

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a difference. (Contributed by AV, 29-May-2020)

	Ref	Expression
Assertion	flsubz	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 − 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) − 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
2		zcn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
3		negsub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + - 𝑁 ) = ( 𝐴 − 𝑁 ) )
4	1 2 3	syl2an	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + - 𝑁 ) = ( 𝐴 − 𝑁 ) )
5	4	eqcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 − 𝑁 ) = ( 𝐴 + - 𝑁 ) )
6	5	fveq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 − 𝑁 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + - 𝑁 ) ) )
7		znegcl	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → - 𝑁 ∈ ℤ )
8		fladdz	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + - 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) + - 𝑁 ) )
9	7 8	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 + - 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) + - 𝑁 ) )
10		reflcl	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ )
11	10	recnd	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
12		negsub	⊢ ( ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) + - 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) − 𝑁 ) )
13	11 2 12	syl2an	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) + - 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) − 𝑁 ) )
14	6 9 13	3eqtrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 − 𝑁 ) ) = ( ( ⌊ ‘ 𝐴 ) − 𝑁 ) )