Theorem fltmul

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any N e. NN0 , hence the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	fltmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ )
	fltmul.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	fltmul.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	fltmul.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	fltmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
	fltmul.1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) + ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐶 ↑ 𝑁 ) )
Assertion	fltmul	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑆 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) + ( ( 𝑆 · 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑆 · 𝐶 ) ↑ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltmul.s	⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ )
2		fltmul.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
3		fltmul.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
4		fltmul.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
5		fltmul.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		fltmul.1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) + ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐶 ↑ 𝑁 ) )
7	1 5	expcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ )
8	2 5	expcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ )
9	3 5	expcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ )
10	7 8 9	adddid	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) + ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) ) )
11	6	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) + ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐶 ↑ 𝑁 ) ) )
12	10 11	eqtr3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐶 ↑ 𝑁 ) ) )
13	1 2 5	mulexpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) )
14	1 3 5	mulexpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )
15	13 14	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑆 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) + ( ( 𝑆 · 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) ) )
16	1 4 5	mulexpd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · 𝐶 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝑆 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐶 ↑ 𝑁 ) ) )
17	12 15 16	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑆 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) + ( ( 𝑆 · 𝐵 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( ( 𝑆 · 𝐶 ) ↑ 𝑁 ) )