Theorem fprlem2

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relation. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023)

	Ref	Expression
Assertion	fprlem2	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex	⊢ 𝑤 ∈ V
2	1	elpred	⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) )
3	2	elv	⊢ ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) )
4		simprl	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
5		simpll2	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
6	5	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
7		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 )
8	7	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 )
9		simpllr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
10	4 8 9	3jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) )
11	6 10	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) )
12		simprr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑤 )
13		simplrr	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 𝑅 𝑧 )
14	12 13	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) )
15		potr	⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
16	11 14 15	sylc	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑧 )
17	4 16	jca	⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
18	17	ex	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
19		vex	⊢ 𝑥 ∈ V
20	19	elpred	⊢ ( 𝑤 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) )
21	20	elv	⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) )
22	19	elpred	⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
23	22	elv	⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
24	18 21 23	3imtr4g	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) → 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) )
25	24	ssrdv	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
26	3 25	sylan2b	⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
27	26	ralrimiva	⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )