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Theorem fprlem2

Description: Lemma for well-founded recursion with a partial order. Establish a subset relationship. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023)

Ref Expression
Assertion fprlem2 ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 vex 𝑤 ∈ V
2 1 elpred ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) )
3 2 elv ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) )
4 simprl ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥𝐴 )
5 simpll2 ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
6 5 adantr ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 )
7 simprl ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑤𝐴 )
8 7 adantr ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤𝐴 )
9 simpllr ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑧𝐴 )
10 4 8 9 3jca ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴 ) )
11 6 10 jca ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴 ) ) )
12 simprr ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑤 )
13 simplrr ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 𝑅 𝑧 )
14 12 13 jca ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑤𝑤 𝑅 𝑧 ) )
15 potr ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥𝐴𝑤𝐴𝑧𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑤𝑤 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) )
16 11 14 15 sylc ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑧 )
17 4 16 jca ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑧 ) )
18 17 ex ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) → ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
19 vex 𝑥 ∈ V
20 19 elpred ( 𝑤 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) ) )
21 20 elv ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑤 ) )
22 19 elpred ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
23 22 elv ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥𝐴𝑥 𝑅 𝑧 ) )
24 18 21 23 3imtr4g ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) → 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) )
25 24 ssrdv ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ ( 𝑤𝐴𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
26 3 25 sylan2b ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )
27 26 ralrimiva ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) )