Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
2 |
1
|
elpred |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ) |
3 |
2
|
elv |
⊢ ( 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
4 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
5 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 ) |
7 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 ) |
10 |
4 8 9
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) |
11 |
6 10
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) ) |
12 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑤 ) |
13 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑤 𝑅 𝑧 ) |
14 |
12 13
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
15 |
|
potr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑤 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) |
16 |
11 14 15
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) |
17 |
4 16
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) |
18 |
17
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) |
19 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
20 |
19
|
elpred |
⊢ ( 𝑤 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) ) |
21 |
20
|
elv |
⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑤 ) ) |
22 |
19
|
elpred |
⊢ ( 𝑧 ∈ V → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ) |
23 |
22
|
elv |
⊢ ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) |
24 |
18 21 23
|
3imtr4g |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) → 𝑥 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) ) |
25 |
24
|
ssrdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) |
26 |
3 25
|
sylan2b |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) → Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) |
27 |
26
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ∀ 𝑤 ∈ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑤 ) ⊆ Pred ( 𝑅 , 𝐴 , 𝑧 ) ) |