Metamath Proof Explorer

Theorem gpg3kgrtriexlem2

Description: Lemma 2 for gpg3kgrtriex . (Contributed by AV, 1-Oct-2025)

Ref Expression
Hypothesis gpg3kgrtriex.n ⊢ 𝑁 = ( 3 · 𝐾 )
Assertion gpg3kgrtriexlem2 ( 𝐾 ∈ ℕ → ( - 𝐾 mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝐾 mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gpg3kgrtriex.n ⊢ 𝑁 = ( 3 · 𝐾 )
2 nnre ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ )
3 3rp ⊢ 3 ∈ ℝ+
4 3 a1i ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+ )
5 nnrp ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+ )
6 4 5 rpmulcld ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 3 · 𝐾 ) ∈ ℝ+ )
7 1 6 eqeltrid ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+ )
8 modaddmod ⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝐾 mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) )
9 2 2 7 8 syl3anc ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( ( 𝐾 mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐾 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) )
10 nncn ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ )
11 10 2timesd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 2 · 𝐾 ) = ( 𝐾 + 𝐾 ) )
12 11 eqcomd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 𝐾 + 𝐾 ) = ( 2 · 𝐾 ) )
13 12 oveq1d ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 𝐾 + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 2 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) )
14 2cnd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ )
15 14 10 adddirp1d ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 2 + 1 ) · 𝐾 ) = ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) )
16 2p1e3 ⊢ ( 2 + 1 ) = 3
17 16 oveq1i ⊢ ( ( 2 + 1 ) · 𝐾 ) = ( 3 · 𝐾 )
18 15 17 eqtr3di ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) = ( 3 · 𝐾 ) )
19 18 oveq1d ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 3 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) )
20 1 a1i ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 = ( 3 · 𝐾 ) )
21 20 oveq2d ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 3 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( ( 3 · 𝐾 ) mod ( 3 · 𝐾 ) ) )
22 modid0 ⊢ ( ( 3 · 𝐾 ) ∈ ℝ+ → ( ( 3 · 𝐾 ) mod ( 3 · 𝐾 ) ) = 0 )
23 6 22 syl ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 3 · 𝐾 ) mod ( 3 · 𝐾 ) ) = 0 )
24 19 21 23 3eqtrd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 0 )
25 2nn ⊢ 2 ∈ ℕ
26 25 a1i ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ )
27 id ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ )
28 26 27 nnmulcld ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℕ )
29 28 nnzd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
30 nnz ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ )
31 3nn ⊢ 3 ∈ ℕ
32 31 a1i ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ )
33 32 27 nnmulcld ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( 3 · 𝐾 ) ∈ ℕ )
34 1 33 eqeltrid ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ )
35 summodnegmod ⊢ ( ( ( 2 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 2 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( - 𝐾 mod 𝑁 ) ) )
36 29 30 34 35 syl3anc ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( ( ( 2 · 𝐾 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) = 0 ↔ ( ( 2 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( - 𝐾 mod 𝑁 ) ) )
37 24 36 mpbid ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( ( 2 · 𝐾 ) mod 𝑁 ) = ( - 𝐾 mod 𝑁 ) )
38 9 13 37 3eqtrrd ⊢ ( 𝐾 ∈ ℕ → ( - 𝐾 mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝐾 mod 𝑁 ) + 𝐾 ) mod 𝑁 ) )