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Theorem hvmapffval

Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015)

Ref Expression
Hypothesis hvmapval.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion hvmapffval ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hvmapval.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 elex ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝐾 ∈ V )
3 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = ( LHyp ‘ 𝐾 ) )
4 3 1 eqtr4di ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = 𝐻 )
5 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( DVecH ‘ 𝑘 ) = ( DVecH ‘ 𝐾 ) )
6 5 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
7 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
8 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
9 8 sneqd ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } = { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } )
10 7 9 difeq12d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) = ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) )
11 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
12 11 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) )
13 fveq2 ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ocH ‘ 𝑘 ) = ( ocH ‘ 𝐾 ) )
14 13 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
15 14 fveq1d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) )
16 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
17 eqidd ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → 𝑡 = 𝑡 )
18 6 fveq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
19 18 oveqd ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) = ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) )
20 16 17 19 oveq123d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) )
21 20 eqeq2d ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
22 15 21 rexeqbidv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
23 12 22 riotaeqbidv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) = ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
24 7 23 mpteq12dv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) )
25 10 24 mpteq12dv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) )
26 4 25 mpteq12dv ⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
27 df-hvmap ⊢ HVMap = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
28 26 27 1 mptfvmpt ⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
29 2 28 syl ⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )