Theorem hvmapffval

Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	hvmapval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion	hvmapffval	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmapval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		elex	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → 𝐾 ∈ V )
3		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = ( LHyp ‘ 𝐾 ) )
4	3 1	eqtr4di	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( LHyp ‘ 𝑘 ) = 𝐻 )
5		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( DVecH ‘ 𝑘 ) = ( DVecH ‘ 𝐾 ) )
6	5	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
7	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
8	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
9	8	sneqd	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } = { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } )
10	7 9	difeq12d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) = ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) )
11	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
12	11	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) )
13		fveq2	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ocH ‘ 𝑘 ) = ( ocH ‘ 𝐾 ) )
14	13	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) )
15	14	fveq1d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) = ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) )
16	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
17		eqidd	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → 𝑡 = 𝑡 )
18	6	fveq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) )
19	18	oveqd	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) = ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) )
20	16 17 19	oveq123d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) )
21	20	eqeq2d	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
22	15 21	rexeqbidv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
23	12 22	riotaeqbidv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) = ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) )
24	7 23	mpteq12dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) )
25	10 24	mpteq12dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) )
26	4 25	mpteq12dv	⊢ ( 𝑘 = 𝐾 → ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
27		df-hvmap	⊢ HVMap = ( 𝑘 ∈ V ↦ ( 𝑤 ∈ ( LHyp ‘ 𝑘 ) ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝑘 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
28	26 27 1	mptfvmpt	⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
29	2 28	syl	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝑋 → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )