Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hvmapval.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
elex |
|- ( K e. X -> K e. _V ) |
3 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) ) |
4 |
3 1
|
eqtr4di |
|- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( DVecH ` k ) = ( DVecH ` K ) ) |
6 |
5
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( DVecH ` k ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |
7 |
6
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) |
8 |
6
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) |
9 |
8
|
sneqd |
|- ( k = K -> { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } = { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |
10 |
7 9
|
difeq12d |
|- ( k = K -> ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) = ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) ) |
11 |
6
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) |
12 |
11
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) = ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) ) |
13 |
|
fveq2 |
|- ( k = K -> ( ocH ` k ) = ( ocH ` K ) ) |
14 |
13
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( ocH ` k ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` w ) ) |
15 |
14
|
fveq1d |
|- ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) ) |
16 |
6
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) |
17 |
|
eqidd |
|- ( k = K -> t = t ) |
18 |
6
|
fveq2d |
|- ( k = K -> ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) |
19 |
18
|
oveqd |
|- ( k = K -> ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) = ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) |
20 |
16 17 19
|
oveq123d |
|- ( k = K -> ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) |
21 |
20
|
eqeq2d |
|- ( k = K -> ( v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) <-> v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) |
22 |
15 21
|
rexeqbidv |
|- ( k = K -> ( E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) <-> E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) |
23 |
12 22
|
riotaeqbidv |
|- ( k = K -> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) = ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) |
24 |
7 23
|
mpteq12dv |
|- ( k = K -> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) = ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) |
25 |
10 24
|
mpteq12dv |
|- ( k = K -> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) = ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) |
26 |
4 25
|
mpteq12dv |
|- ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) ) |
27 |
|
df-hvmap |
|- HVMap = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) ) |
28 |
26 27 1
|
mptfvmpt |
|- ( K e. _V -> ( HVMap ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) ) |
29 |
2 28
|
syl |
|- ( K e. X -> ( HVMap ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` ( Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) ) |