Theorem hvmapfval

Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	hvmapval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	hvmapval.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hvmapval.o	⊢ 𝑂 = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hvmapval.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
	hvmapval.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑈 )
	hvmapval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 )
	hvmapval.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
	hvmapval.s	⊢ 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
	hvmapval.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑆 )
	hvmapval.m	⊢ 𝑀 = ( ( HVMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	hvmapval.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
Assertion	hvmapfval	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 = ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmapval.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2		hvmapval.u	⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3		hvmapval.o	⊢ 𝑂 = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		hvmapval.v	⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
5		hvmapval.p	⊢ + = ( +g ‘ 𝑈 )
6		hvmapval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 )
7		hvmapval.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 )
8		hvmapval.s	⊢ 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑈 )
9		hvmapval.r	⊢ 𝑅 = ( Base ‘ 𝑆 )
10		hvmapval.m	⊢ 𝑀 = ( ( HVMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
11		hvmapval.k	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
12	1	hvmapffval	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐴 → ( HVMap ‘ 𝐾 ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) )
13	12	fveq1d	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐴 → ( ( HVMap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑊 ) )
14	10 13	eqtrid	⊢ ( 𝐾 ∈ 𝐴 → 𝑀 = ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑊 ) )
15		fveq2	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
16	15 2	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = 𝑈 )
17	16	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Base ‘ 𝑈 ) )
18	17 4	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝑉 )
19	16	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( 0g ‘ 𝑈 ) )
20	19 7	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 0 )
21	20	sneqd	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } = { 0 } )
22	18 21	difeq12d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) = ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
23	16	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
24	23 8	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = 𝑆 )
25	24	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) = ( Base ‘ 𝑆 ) )
26	25 9	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) = 𝑅 )
27		fveq2	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) )
28	27 3	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) = 𝑂 )
29	28	fveq1d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) = ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) )
30	16	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( +g ‘ 𝑈 ) )
31	30 5	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = + )
32		eqidd	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → 𝑡 = 𝑡 )
33	16	fveq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = ( ·𝑠 ‘ 𝑈 ) )
34	33 6	eqtr4di	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) = · )
35	34	oveqd	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) = ( 𝑗 · 𝑥 ) )
36	31 32 35	oveq123d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) )
37	36	eqeq2d	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) )
38	29 37	rexeqbidv	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ↔ ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) )
39	26 38	riotaeqbidv	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) = ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) )
40	18 39	mpteq12dv	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) = ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) )
41	22 40	mpteq12dv	⊢ ( 𝑤 = 𝑊 → ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) )
42		eqid	⊢ ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) )
43	4	fvexi	⊢ 𝑉 ∈ V
44	43	difexi	⊢ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ∈ V
45	44	mptex	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) ∈ V
46	41 42 45	fvmpt	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → ( ( 𝑤 ∈ 𝐻 ↦ ( 𝑥 ∈ ( ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ∖ { ( 0g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) } ) ↦ ( 𝑣 ∈ ( Base ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ) ∃ 𝑡 ∈ ( ( ( ocH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 ( +g ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) ( 𝑗 ( ·𝑠 ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑤 ) ) 𝑥 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝑊 ) = ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) )
47	14 46	sylan9eq	⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → 𝑀 = ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) )
48	11 47	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝑀 = ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ↦ ( 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑅 ∃ 𝑡 ∈ ( 𝑂 ‘ { 𝑥 } ) 𝑣 = ( 𝑡 + ( 𝑗 · 𝑥 ) ) ) ) ) )