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Theorem iccshftl

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Hypotheses iccshftl.1 ⊢ ( 𝐴 − 𝑅 ) = 𝐶
iccshftl.2 ⊢ ( 𝐵 − 𝑅 ) = 𝐷
Assertion iccshftl ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iccshftl.1 ⊢ ( 𝐴 − 𝑅 ) = 𝐶
2 iccshftl.2 ⊢ ( 𝐵 − 𝑅 ) = 𝐷
3 simpl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝑋 ∈ ℝ )
4 resubcl ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ )
5 3 4 2thd ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
6 5 adantl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ℝ ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ) )
7 lesub1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 − 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ) )
8 7 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 − 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ) )
9 8 adantlr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝐴 − 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ) )
10 1 breq1i ⊢ ( ( 𝐴 − 𝑅 ) ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) )
11 9 10 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ) )
12 lesub1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) )
13 12 3expb ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) )
14 13 an12s ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) )
15 14 adantll ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 − 𝑅 ) ) )
16 2 breq2i ⊢ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ ( 𝐵 − 𝑅 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 )
17 15 16 bitrdi ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) )
18 6 11 17 3anbi123d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
19 elicc2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
20 19 adantr ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ) ) )
21 resubcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 𝑅 ) ∈ ℝ )
22 1 21 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
23 resubcl ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 − 𝑅 ) ∈ ℝ )
24 2 23 eqeltrrid ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → 𝐷 ∈ ℝ )
25 elicc2 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
26 22 24 25 syl2an ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
27 26 anandirs ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) → ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
28 27 adantrl ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ↔ ( ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑅 ) ≤ 𝐷 ) ) )
29 18 20 28 3bitr4d ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ) ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝐴 [,] 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑅 ) ∈ ( 𝐶 [,] 𝐷 ) ) )