Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
2 |
|
simp3l |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
3 |
|
simp3r |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
4 |
|
cgrid2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
5 |
1 2 2 3 4
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
6 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
7 |
|
axbtwnid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → 𝐶 = 𝐴 ) ) |
8 |
1 2 6 7
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → 𝐶 = 𝐴 ) ) |
9 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝐶 = 𝐴 → 〈 𝐶 , 𝐶 〉 = 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) |
10 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝐶 = 𝐴 → 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) |
11 |
9 10
|
breq12d |
⊢ ( 𝐶 = 𝐴 → ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ↔ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
12 |
11
|
imbi1d |
⊢ ( 𝐶 = 𝐴 → ( ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ↔ ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
13 |
12
|
biimpcd |
⊢ ( ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) → ( 𝐶 = 𝐴 → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
14 |
|
ax-1 |
⊢ ( 𝐶 = 𝐷 → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
15 |
13 14
|
syl8 |
⊢ ( ( 〈 𝐶 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) → ( 𝐶 = 𝐴 → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) ) |
16 |
5 8 15
|
sylsyld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) ) |
17 |
16
|
3impd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
18 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → 〈 𝐴 , 𝐴 〉 = 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) |
19 |
18
|
breq2d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ↔ 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ) ) |
20 |
19
|
3anbi1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ↔ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) ) |
21 |
20
|
imbi1d |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
22 |
17 21
|
syl5ib |
⊢ ( 𝐴 = 𝐵 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
23 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
24 |
|
simpr2l |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
25 |
|
simpr2r |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
26 |
|
simpr3l |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
27 |
|
btwncolinear1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
28 |
23 24 25 26 27
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 → 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
29 |
|
idd |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 → 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
30 |
|
idd |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) |
31 |
28 29 30
|
3anim123d |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) ) |
32 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) |
33 |
32
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ) |
34 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) |
35 |
34
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) |
36 |
33 35
|
jca |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) ) |
37 |
|
lineid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
38 |
36 37
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
39 |
38
|
expd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
40 |
39
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 Colinear 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
41 |
31 40
|
syld |
⊢ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |
42 |
41
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) ) |
43 |
22 42
|
pm2.61ine |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐵 〉 ∧ 〈 𝐴 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐵 , 𝐷 〉 ) → 𝐶 = 𝐷 ) ) |