Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dipfval.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
dipfval.2 |
⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
dipfval.4 |
⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
dipfval.6 |
⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
dipfval.7 |
⊢ 𝑃 = ( ·𝑖OLD ‘ 𝑈 ) |
6 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝑈 ∈ NrmCVec ) |
7 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
8 |
1 3
|
nvscl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
9 |
8
|
3com23 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
10 |
9
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
11 |
10
|
3adantl2 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
12 |
1 2
|
nvgcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 ) |
13 |
6 7 11 12
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 ) |
14 |
1 4
|
nvcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
15 |
6 13 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
resqcld |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( 𝐶 𝑆 𝐵 ) ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |