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Theorem irrmul

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008)

Ref Expression
Assertion irrmul ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eldif ⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) )
2 qre ⊢ ( 𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ )
3 remulcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
4 2 3 sylan2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
5 4 ad2ant2r ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ )
6 qdivcl ⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ∈ ℚ )
7 6 3expb ⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ∈ ℚ )
8 7 expcom ⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
9 8 adantl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
10 qcn ⊢ ( 𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ )
11 recn ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
12 divcan4 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝐴 )
13 11 12 syl3an1 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝐴 )
14 10 13 syl3an2 ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝐴 )
15 14 3expb ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) = 𝐴 )
16 15 eleq1d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝐴 · 𝐵 ) / 𝐵 ) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ ) )
17 9 16 sylibd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ ) )
18 17 con3d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
19 18 ex ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) ) )
20 19 com23 ⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( ¬ 𝐴 ∈ ℚ → ( ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) ) )
21 20 imp31 ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ )
22 5 21 jca ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
23 22 3impb ⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
24 1 23 syl3an1b ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
25 eldif ⊢ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) ↔ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ¬ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℚ ) )
26 24 25 sylibr ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ( ℝ ∖ ℚ ) )