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Theorem itg1lea

Description: Approximate version of itg1le . If F <_ G for almost all x , then S.1 F <_ S.1 G . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses itg10a.1 ( 𝜑𝐹 ∈ dom ∫1 )
itg10a.2 ( 𝜑𝐴 ⊆ ℝ )
itg10a.3 ( 𝜑 → ( vol* ‘ 𝐴 ) = 0 )
itg1lea.4 ( 𝜑𝐺 ∈ dom ∫1 )
itg1lea.5 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ≤ ( 𝐺𝑥 ) )
Assertion itg1lea ( 𝜑 → ( ∫1𝐹 ) ≤ ( ∫1𝐺 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 itg10a.1 ( 𝜑𝐹 ∈ dom ∫1 )
2 itg10a.2 ( 𝜑𝐴 ⊆ ℝ )
3 itg10a.3 ( 𝜑 → ( vol* ‘ 𝐴 ) = 0 )
4 itg1lea.4 ( 𝜑𝐺 ∈ dom ∫1 )
5 itg1lea.5 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → ( 𝐹𝑥 ) ≤ ( 𝐺𝑥 ) )
6 i1fsub ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1 ) → ( 𝐺f𝐹 ) ∈ dom ∫1 )
7 4 1 6 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐺f𝐹 ) ∈ dom ∫1 )
8 eldifi ( 𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ ℝ )
9 i1ff ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐺 : ℝ ⟶ ℝ )
10 4 9 syl ( 𝜑𝐺 : ℝ ⟶ ℝ )
11 10 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺𝑥 ) ∈ ℝ )
12 i1ff ( 𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
13 1 12 syl ( 𝜑𝐹 : ℝ ⟶ ℝ )
14 13 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑥 ) ∈ ℝ )
15 11 14 subge0d ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( 𝐹𝑥 ) ≤ ( 𝐺𝑥 ) ) )
16 8 15 sylan2 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → ( 0 ≤ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐹𝑥 ) ) ↔ ( 𝐹𝑥 ) ≤ ( 𝐺𝑥 ) ) )
17 5 16 mpbird ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐹𝑥 ) ) )
18 10 ffnd ( 𝜑𝐺 Fn ℝ )
19 13 ffnd ( 𝜑𝐹 Fn ℝ )
20 reex ℝ ∈ V
21 20 a1i ( 𝜑 → ℝ ∈ V )
22 inidm ( ℝ ∩ ℝ ) = ℝ
23 eqidd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐺𝑥 ) = ( 𝐺𝑥 ) )
24 eqidd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( 𝐹𝑥 ) = ( 𝐹𝑥 ) )
25 18 19 21 21 22 23 24 ofval ( ( 𝜑𝑥 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐺f𝐹 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐹𝑥 ) ) )
26 8 25 sylan2 ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → ( ( 𝐺f𝐹 ) ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐺𝑥 ) − ( 𝐹𝑥 ) ) )
27 17 26 breqtrrd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( ℝ ∖ 𝐴 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐺f𝐹 ) ‘ 𝑥 ) )
28 7 2 3 27 itg1ge0a ( 𝜑 → 0 ≤ ( ∫1 ‘ ( 𝐺f𝐹 ) ) )
29 itg1sub ( ( 𝐺 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1 ) → ( ∫1 ‘ ( 𝐺f𝐹 ) ) = ( ( ∫1𝐺 ) − ( ∫1𝐹 ) ) )
30 4 1 29 syl2anc ( 𝜑 → ( ∫1 ‘ ( 𝐺f𝐹 ) ) = ( ( ∫1𝐺 ) − ( ∫1𝐹 ) ) )
31 28 30 breqtrd ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ∫1𝐺 ) − ( ∫1𝐹 ) ) )
32 itg1cl ( 𝐺 ∈ dom ∫1 → ( ∫1𝐺 ) ∈ ℝ )
33 4 32 syl ( 𝜑 → ( ∫1𝐺 ) ∈ ℝ )
34 itg1cl ( 𝐹 ∈ dom ∫1 → ( ∫1𝐹 ) ∈ ℝ )
35 1 34 syl ( 𝜑 → ( ∫1𝐹 ) ∈ ℝ )
36 33 35 subge0d ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ∫1𝐺 ) − ( ∫1𝐹 ) ) ↔ ( ∫1𝐹 ) ≤ ( ∫1𝐺 ) ) )
37 31 36 mpbid ( 𝜑 → ( ∫1𝐹 ) ≤ ( ∫1𝐺 ) )