Theorem leaddsub

Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005)

	Ref	Expression
Assertion	leaddsub	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) < 𝐴 ↔ 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ) )
2	1	3com13	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) < 𝐴 ↔ 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ) )
3		resubcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ )
4		ltnle	⊢ ( ( ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
5	3 4	stoic3	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
6	5	3com13	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 − 𝐵 ) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
7		readdcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ )
8		ltnle	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℝ ) → ( 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) )
9	7 8	sylan2	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) )
10	9	3impb	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) )
11	10	3coml	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 < ( 𝐴 + 𝐵 ) ↔ ¬ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ) )
12	2 6 11	3bitr3rd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ¬ ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )
13	12	con4bid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ ( 𝐶 − 𝐵 ) ) )