Theorem lerec2

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005)

	Ref	Expression
Assertion	lerec2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 1 / 𝐵 ) ↔ 𝐵 ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 𝐵 ≠ 0 )
2		rereccl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
3	1 2	syldan	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ )
4		recgt0	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → 0 < ( 1 / 𝐵 ) )
5	3 4	jca	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 / 𝐵 ) ) )
6		lerec	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( ( 1 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 / 𝐵 ) ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 1 / 𝐵 ) ↔ ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
7	5 6	sylan2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 1 / 𝐵 ) ↔ ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
8		recn	⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ )
9		recrec	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) = 𝐵 )
10	8 1 9	syl2an2r	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) → ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) = 𝐵 )
11	10	adantl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) = 𝐵 )
12	11	breq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / ( 1 / 𝐵 ) ) ≤ ( 1 / 𝐴 ) ↔ 𝐵 ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )
13	7 12	bitrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ≤ ( 1 / 𝐵 ) ↔ 𝐵 ≤ ( 1 / 𝐴 ) ) )