Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
llnle.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
llnle.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
llnle.z |
⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
llnle.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
llnle.n |
⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
7 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑋 ≠ 0 ) |
9 |
1 2 3 4
|
atle |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋 ) |
10 |
6 7 8 9
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋 ) |
11 |
|
simp1ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
12 |
1 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵 ) |
13 |
12
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑝 ∈ 𝐵 ) |
14 |
|
simp1lr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
15 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑝 ≤ 𝑋 ) |
16 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
17 |
|
simp1rr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
nelne2 |
⊢ ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
19 |
16 17 18
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑝 ≠ 𝑋 ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( lt ‘ 𝐾 ) = ( lt ‘ 𝐾 ) |
21 |
2 20
|
pltval |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑝 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) ) |
22 |
11 16 14 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑝 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ↔ ( 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋 ) ) ) |
23 |
15 19 22
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → 𝑝 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
25 |
|
eqid |
⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
26 |
1 2 20 24 25 4
|
hlrelat3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ( lt ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) |
27 |
11 13 14 23 26
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) |
28 |
|
simp1ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
29 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
30 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 ) |
31 |
1 24 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
32 |
28 29 30 31
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
33 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) |
34 |
1 25 4 5
|
llni |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝑁 ) |
35 |
28 32 29 33 34
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝑁 ) |
36 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) |
37 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) → ( 𝑦 ≤ 𝑋 ↔ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) |
38 |
37
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∈ 𝑁 ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) |
39 |
35 36 38
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) |
40 |
39
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) ) |
41 |
40
|
3expd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( 𝑝 ≤ 𝑋 → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
3imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑞 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) ) |
43 |
42
|
rexlimdv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) |
44 |
27 43
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) |
45 |
44
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑝 ∈ 𝐴 → ( 𝑝 ≤ 𝑋 → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) ) |
46 |
45
|
rexlimdv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋 → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) ) |
47 |
10 46
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋 ) |