Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lmimlbs.j |
⊢ 𝐽 = ( LBasis ‘ 𝑆 ) |
2 |
|
lmimlbs.k |
⊢ 𝐾 = ( LBasis ‘ 𝑇 ) |
3 |
|
brlmic |
⊢ ( 𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ≠ ∅ ) |
4 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ) |
5 |
3 4
|
bitri |
⊢ ( 𝑆 ≃𝑚 𝑇 ↔ ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ) |
6 |
|
n0 |
⊢ ( 𝐽 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑏 𝑏 ∈ 𝐽 ) |
7 |
1 2
|
lmimlbs |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑓 “ 𝑏 ) ∈ 𝐾 ) |
8 |
7
|
ne0d |
⊢ ( ( 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) ∧ 𝑏 ∈ 𝐽 ) → 𝐾 ≠ ∅ ) |
9 |
8
|
ex |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) → ( 𝑏 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≠ ∅ ) ) |
10 |
9
|
exlimdv |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) → ( ∃ 𝑏 𝑏 ∈ 𝐽 → 𝐾 ≠ ∅ ) ) |
11 |
6 10
|
syl5bi |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) → ( 𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅ ) ) |
12 |
11
|
exlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝑆 LMIso 𝑇 ) → ( 𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅ ) ) |
13 |
5 12
|
sylbi |
⊢ ( 𝑆 ≃𝑚 𝑇 → ( 𝐽 ≠ ∅ → 𝐾 ≠ ∅ ) ) |