Theorem ltrec

Description: The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	ltrec	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / 𝐴 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 1 ∈ ℝ )
2		simprl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ )
3		simpll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 0 < 𝐴 )
5		ltmuldiv	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( ( 1 · 𝐴 ) < 𝐵 ↔ 1 < ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
6	1 2 3 4 5	syl112anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 · 𝐴 ) < 𝐵 ↔ 1 < ( 𝐵 / 𝐴 ) ) )
7	3	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
8	7	mullidd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
9	8	breq1d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 · 𝐴 ) < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵 ) )
10	2	recnd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ )
11	4	gt0ne0d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 𝐴 ≠ 0 )
12	10 7 11	divrecd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐵 / 𝐴 ) = ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) )
13	12	breq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 1 < ( 𝐵 / 𝐴 ) ↔ 1 < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
14	6 9 13	3bitr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
15	3 11	rereccld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
16		simprr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → 0 < 𝐵 )
17		ltdivmul	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / 𝐴 ) ↔ 1 < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
18	1 15 2 16 17	syl112anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / 𝐴 ) ↔ 1 < ( 𝐵 · ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
19	14 18	bitr4d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / 𝐴 ) ) )