Theorem ltrec1

Description: Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005)

	Ref	Expression
Assertion	ltrec1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐴 ) < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < 𝐴 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 𝐴 ≠ 0 )
2		rereccl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
3	1 2	syldan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ )
4		recgt0	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → 0 < ( 1 / 𝐴 ) )
5	3 4	jca	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 / 𝐴 ) ) )
6		ltrec	⊢ ( ( ( ( 1 / 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 / 𝐴 ) ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐴 ) < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
7	5 6	sylan	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐴 ) < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) ) )
8		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
9		recrec	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) = 𝐴 )
10	8 9	sylan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) = 𝐴 )
11	1 10	syldan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) = 𝐴 )
12	11	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) = 𝐴 )
13	12	breq2d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐵 ) < ( 1 / ( 1 / 𝐴 ) ) ↔ ( 1 / 𝐵 ) < 𝐴 ) )
14	7 13	bitrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵 ) ) → ( ( 1 / 𝐴 ) < 𝐵 ↔ ( 1 / 𝐵 ) < 𝐴 ) )