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Theorem ltrnatb

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012)

Ref Expression
Hypotheses ltrnatb.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
ltrnatb.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
ltrnatb.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
ltrnatb.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion ltrnatb ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltrnatb.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 ltrnatb.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
3 ltrnatb.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 ltrnatb.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 simp3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
6 1 3 4 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
7 5 6 2thd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐵 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) )
8 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9 simp2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
10 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ HL )
11 hlop ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP )
12 eqid ⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
13 1 12 op0cl ⊢ ( 𝐾 ∈ OP → ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐵 )
14 10 11 13 3syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐵 )
15 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
16 1 15 3 4 ltrncvr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ ( 𝐹 ‘ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
17 8 9 14 5 16 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ ( 𝐹 ‘ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
18 10 11 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝐾 ∈ OP )
19 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
20 1 3 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
21 19 20 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
22 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
23 1 22 12 op0le ⊢ ( ( 𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 )
24 18 21 23 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 0. ‘ 𝐾 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 )
25 1 22 3 4 ltrnval1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
26 8 9 14 24 25 syl112anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐹 ‘ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
27 26 breq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ↔ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
28 17 27 bitrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )
29 7 28 anbi12d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
30 1 12 15 2 isat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) )
31 10 30 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) )
32 1 12 15 2 isat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
33 10 32 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 0. ‘ 𝐾 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) ) )
34 29 31 33 3bitr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) )