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Theorem mapdindp3

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdindp1.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
mapdindp1.p + = ( +g𝑊 )
mapdindp1.o 0 = ( 0g𝑊 )
mapdindp1.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
mapdindp1.w ( 𝜑𝑊 ∈ LVec )
mapdindp1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.z ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.W ( 𝜑𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.e ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
mapdindp1.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
mapdindp1.f ( 𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
Assertion mapdindp3 ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdindp1.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 mapdindp1.p + = ( +g𝑊 )
3 mapdindp1.o 0 = ( 0g𝑊 )
4 mapdindp1.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
5 mapdindp1.w ( 𝜑𝑊 ∈ LVec )
6 mapdindp1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
7 mapdindp1.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
8 mapdindp1.z ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
9 mapdindp1.W ( 𝜑𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
10 mapdindp1.e ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
11 mapdindp1.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
12 mapdindp1.f ( 𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
13 lveclmod ( 𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod )
14 5 13 syl ( 𝜑𝑊 ∈ LMod )
15 9 eldifad ( 𝜑𝑤𝑉 )
16 7 eldifad ( 𝜑𝑌𝑉 )
17 1 2 4 lspvadd ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑤𝑉𝑌𝑉 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } ) )
18 14 15 16 17 syl3anc ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) ⊆ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } ) )
19 1 3 4 5 6 16 15 11 12 lspindp1 ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∧ ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } ) ) )
20 19 simprd ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 , 𝑌 } ) )
21 18 20 ssneldd ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) )
22 6 eldifad ( 𝜑𝑋𝑉 )
23 1 4 lspsnid ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
24 14 22 23 syl2anc ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) )
25 eleq2 ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) → ( 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ↔ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) ) )
26 24 25 syl5ibcom ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) → 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) ) )
27 26 necon3bd ( 𝜑 → ( ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) ) )
28 21 27 mpd ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑤 + 𝑌 ) } ) )