Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdetf.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑁 maDet 𝑅 ) |
2 |
|
mdetf.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
3 |
|
mdetf.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
mdetf.k |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
7 |
|
ringcmn |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ CMnd ) |
9 |
2 3
|
matrcl |
⊢ ( 𝑚 ∈ 𝐵 → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) ) |
10 |
9
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) ) |
11 |
10
|
simpld |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) = ( SymGrp ‘ 𝑁 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) |
14 |
12 13
|
symgbasfi |
⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ∈ Fin ) |
15 |
11 14
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ∈ Fin ) |
16 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
17 |
|
zrhpsgnmhm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ∈ ( ( SymGrp ‘ 𝑁 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ) |
18 |
6 11 17
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ∈ ( ( SymGrp ‘ 𝑁 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) = ( mulGrp ‘ 𝑅 ) |
20 |
19 4
|
mgpbas |
⊢ 𝐾 = ( Base ‘ ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) |
21 |
13 20
|
mhmf |
⊢ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ∈ ( ( SymGrp ‘ 𝑁 ) MndHom ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) : ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ⟶ 𝐾 ) |
22 |
18 21
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) : ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ⟶ 𝐾 ) |
23 |
22
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐾 ) |
24 |
19
|
crngmgp |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ) |
25 |
24
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → ( mulGrp ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ) |
26 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
27 |
2 4 3
|
matbas2i |
⊢ ( 𝑚 ∈ 𝐵 → 𝑚 ∈ ( 𝐾 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ) |
28 |
27
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ( 𝐾 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) ) |
29 |
|
elmapi |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 𝐾 ↑m ( 𝑁 × 𝑁 ) ) → 𝑚 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → 𝑚 : ( 𝑁 × 𝑁 ) ⟶ 𝐾 ) |
31 |
12 13
|
symgbasf |
⊢ ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) → 𝑝 : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) |
32 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑝 : 𝑁 ⟶ 𝑁 ) |
33 |
32
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) ∈ 𝑁 ) |
34 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → 𝑐 ∈ 𝑁 ) |
35 |
30 33 34
|
fovrnd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ∈ 𝐾 ) |
36 |
35
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → ∀ 𝑐 ∈ 𝑁 ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ∈ 𝐾 ) |
37 |
20 25 26 36
|
gsummptcl |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐾 ) |
38 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
39 |
4 38
|
ringcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ∈ 𝐾 ∧ ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ∈ 𝐾 ) → ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐾 ) |
40 |
16 23 37 39
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐾 ) |
41 |
40
|
ralrimiva |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ) ∈ 𝐾 ) |
42 |
4 8 15 41
|
gsummptcl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ) ) ) ∈ 𝐾 ) |
43 |
|
eqid |
⊢ ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) = ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) |
44 |
|
eqid |
⊢ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) = ( pmSgn ‘ 𝑁 ) |
45 |
1 2 3 13 43 44 38 19
|
mdetfval |
⊢ 𝐷 = ( 𝑚 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) ) ↦ ( ( ( ( ℤRHom ‘ 𝑅 ) ∘ ( pmSgn ‘ 𝑁 ) ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( ( mulGrp ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ( ( 𝑝 ‘ 𝑐 ) 𝑚 𝑐 ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
42 45
|
fmptd |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝐷 : 𝐵 ⟶ 𝐾 ) |