Theorem mircgrextend

Description: Link congruence over a pair of mirror points. cf tgcgrextend . (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
	mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	mirtrcgr.e	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
	mirtrcgr.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐵 )
	mirtrcgr.n	⊢ 𝑁 = ( 𝑆 ‘ 𝑌 )
	mirtrcgr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	mirtrcgr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	mirtrcgr.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	mirtrcgr.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	mircgrextend.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
Assertion	mircgrextend	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑋 − ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mirval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		mirval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		mirval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
5		mirval.s	⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 )
6		mirval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
7		mirtrcgr.e	⊢ ∼ = ( cgrG ‘ 𝐺 )
8		mirtrcgr.m	⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐵 )
9		mirtrcgr.n	⊢ 𝑁 = ( 𝑆 ‘ 𝑌 )
10		mirtrcgr.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
11		mirtrcgr.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
12		mirtrcgr.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
13		mirtrcgr.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
14		mircgrextend.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
15	1 2 3 4 5 6 11 8 10	mircl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ∈ 𝑃 )
16	1 2 3 4 5 6 13 9 12	mircl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑃 )
17	1 2 3 4 5 6 11 8 10	mirbtwn	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) 𝐼 𝐴 ) )
18	1 2 3 6 15 11 10 17	tgbtwncom	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ) )
19	1 2 3 4 5 6 13 9 12	mirbtwn	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑋 ) )
20	1 2 3 6 16 13 12 19	tgbtwncom	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
21	1 2 3 6 10 11 12 13 14	tgcgrcomlr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )
22	1 2 3 4 5 6 11 8 10	mircgr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
23	1 2 3 4 5 6 13 9 12	mircgr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 − ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )
24	21 22 23	3eqtr4d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑌 − ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
25	1 2 3 6 10 11 15 12 13 16 18 20 14 24	tgcgrextend	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑋 − ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )