Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0red |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ 0 โ โ ) |
2 |
|
simpl |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด โ โ ) |
3 |
1 2
|
leloed |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 โค ๐ด โ ( 0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด ) ) ) |
4 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ต โ โ ) |
5 |
1 4
|
leloed |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 โค ๐ต โ ( 0 < ๐ต โจ 0 = ๐ต ) ) ) |
6 |
3 5
|
anbi12d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต ) โ ( ( 0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด ) โง ( 0 < ๐ต โจ 0 = ๐ต ) ) ) ) |
7 |
|
0red |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ 0 โ โ ) |
8 |
|
simpll |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ ๐ด โ โ ) |
9 |
|
simplr |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ ๐ต โ โ ) |
10 |
8 9
|
remulcld |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ ( ๐ด ยท ๐ต ) โ โ ) |
11 |
|
mulgt0 |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง 0 < ๐ด ) โง ( ๐ต โ โ โง 0 < ๐ต ) ) โ 0 < ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
12 |
11
|
an4s |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ 0 < ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
13 |
7 10 12
|
ltled |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
14 |
13
|
ex |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 < ๐ด โง 0 < ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
15 |
|
0re |
โข 0 โ โ |
16 |
|
leid |
โข ( 0 โ โ โ 0 โค 0 ) |
17 |
15 16
|
ax-mp |
โข 0 โค 0 |
18 |
4
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ต โ โ ) |
19 |
18
|
mul02d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 ยท ๐ต ) = 0 ) |
20 |
17 19
|
breqtrrid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ 0 โค ( 0 ยท ๐ต ) ) |
21 |
|
oveq1 |
โข ( 0 = ๐ด โ ( 0 ยท ๐ต ) = ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
22 |
21
|
breq2d |
โข ( 0 = ๐ด โ ( 0 โค ( 0 ยท ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
23 |
20 22
|
syl5ibcom |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 = ๐ด โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
24 |
23
|
adantrd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 = ๐ด โง 0 < ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
25 |
2
|
recnd |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ๐ด โ โ ) |
26 |
25
|
mul01d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ๐ด ยท 0 ) = 0 ) |
27 |
17 26
|
breqtrrid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ 0 โค ( ๐ด ยท 0 ) ) |
28 |
|
oveq2 |
โข ( 0 = ๐ต โ ( ๐ด ยท 0 ) = ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
29 |
28
|
breq2d |
โข ( 0 = ๐ต โ ( 0 โค ( ๐ด ยท 0 ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
30 |
27 29
|
syl5ibcom |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( 0 = ๐ต โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
31 |
30
|
adantld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 < ๐ด โง 0 = ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
32 |
30
|
adantld |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 = ๐ด โง 0 = ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
33 |
14 24 31 32
|
ccased |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( ( 0 < ๐ด โจ 0 = ๐ด ) โง ( 0 < ๐ต โจ 0 = ๐ต ) ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
34 |
6 33
|
sylbid |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โ ( ( 0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) ) |
35 |
34
|
imp |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ ) โง ( 0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต ) ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
36 |
35
|
an4s |
โข ( ( ( ๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด ) โง ( ๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต ) ) โ 0 โค ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |