Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nmtri2.x |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
nmtri2.n |
⊢ 𝑁 = ( norm ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
nmtri2.m |
⊢ − = ( -g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
ngpgrp |
⊢ ( 𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
6 |
1 5 3
|
grpnpncan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) = ( 𝐴 − 𝐶 ) ) |
7 |
6
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
8 |
4 7
|
sylan |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) |
9 |
8
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
10 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐺 ∈ NrmGrp ) |
11 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
12 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
13 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
14 |
1 3
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
15 |
11 12 13 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
16 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑋 ) |
17 |
1 3
|
grpsubcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ 𝑋 ) |
18 |
11 13 16 17
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ 𝑋 ) |
19 |
1 2 5
|
nmtri |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
20 |
10 15 18 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ≤ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |
21 |
9 20
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ NrmGrp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) + ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 − 𝐶 ) ) ) ) |