Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opiota.1 |
⊢ 𝐼 = ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
2 |
|
opiota.2 |
⊢ 𝑋 = ( 1st ‘ 𝐼 ) |
3 |
|
opiota.3 |
⊢ 𝑌 = ( 2nd ‘ 𝐼 ) |
4 |
|
opiota.4 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) ) |
5 |
|
opiota.5 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐷 → ( 𝜓 ↔ 𝜒 ) ) |
6 |
4 5
|
ceqsrex2v |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ↔ 𝜒 ) ) |
7 |
6
|
bicomd |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) → ( 𝜒 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ) ) |
8 |
|
opex |
⊢ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∈ V |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∈ V ) |
10 |
|
id |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
11 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑧 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
12 |
|
eqcom |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) |
13 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
14 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
15 |
13 14
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ) |
16 |
12 15
|
bitri |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ) |
17 |
11 16
|
bitrdi |
⊢ ( 𝑧 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ) ) |
18 |
17
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑧 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ) ) |
19 |
18
|
2rexbidv |
⊢ ( 𝑧 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ) ) |
20 |
19
|
adantl |
⊢ ( ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝑧 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ) ) |
21 |
|
nfeu1 |
⊢ Ⅎ 𝑧 ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) |
22 |
|
nfvd |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → Ⅎ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ) |
23 |
|
nfcvd |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → Ⅎ 𝑧 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) |
24 |
9 10 20 21 22 23
|
iota2df |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) |
25 |
|
eqcom |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ↔ 𝐼 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) |
26 |
1
|
eqeq1i |
⊢ ( 𝐼 = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ↔ ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) |
27 |
25 26
|
bitri |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ↔ ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) = 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) |
28 |
24 27
|
bitr4di |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 = 𝐶 ∧ 𝑦 = 𝐷 ) ∧ 𝜑 ) ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ) ) |
29 |
7 28
|
sylan9bbr |
⊢ ( ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝜒 ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ) ) |
30 |
29
|
pm5.32da |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜒 ) ↔ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ∧ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ) ) ) |
31 |
|
opelxpi |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
32 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
33 |
32
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
34 |
31 33
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
35 |
34
|
rexlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
36 |
35
|
abssi |
⊢ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } ⊆ ( 𝐴 × 𝐵 ) |
37 |
|
iotacl |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ∈ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } ) |
38 |
36 37
|
sselid |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ℩ 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
39 |
1 38
|
eqeltrid |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝐼 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
40 |
|
opelxp |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ) |
41 |
|
eleq1 |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 → ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ↔ 𝐼 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
42 |
40 41
|
bitr3id |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 → ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ↔ 𝐼 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ) |
43 |
39 42
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 → ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ) ) |
44 |
43
|
pm4.71rd |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ↔ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ∧ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ) ) ) |
45 |
|
1st2nd2 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ( 𝐴 × 𝐵 ) → 𝐼 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ) |
46 |
39 45
|
syl |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → 𝐼 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ) |
47 |
46
|
eqeq2d |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 𝐼 ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ) ) |
48 |
30 44 47
|
3bitr2d |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜒 ) ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ) ) |
49 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) ↔ ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜒 ) ) |
50 |
2
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝐶 = 𝑋 ↔ 𝐶 = ( 1st ‘ 𝐼 ) ) |
51 |
3
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝐷 = 𝑌 ↔ 𝐷 = ( 2nd ‘ 𝐼 ) ) |
52 |
50 51
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝐶 = 𝑋 ∧ 𝐷 = 𝑌 ) ↔ ( 𝐶 = ( 1st ‘ 𝐼 ) ∧ 𝐷 = ( 2nd ‘ 𝐼 ) ) ) |
53 |
|
fvex |
⊢ ( 1st ‘ 𝐼 ) ∈ V |
54 |
|
fvex |
⊢ ( 2nd ‘ 𝐼 ) ∈ V |
55 |
53 54
|
opth2 |
⊢ ( 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ↔ ( 𝐶 = ( 1st ‘ 𝐼 ) ∧ 𝐷 = ( 2nd ‘ 𝐼 ) ) ) |
56 |
52 55
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝐶 = 𝑋 ∧ 𝐷 = 𝑌 ) ↔ 〈 𝐶 , 𝐷 〉 = 〈 ( 1st ‘ 𝐼 ) , ( 2nd ‘ 𝐼 ) 〉 ) |
57 |
48 49 56
|
3bitr4g |
⊢ ( ∃! 𝑧 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝐶 = 𝑋 ∧ 𝐷 = 𝑌 ) ) ) |