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Theorem pexmidlem4N

Description: Lemma for pexmidN . (Contributed by NM, 2-Feb-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
Assertion pexmidlem4N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pexmidlem.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 pexmidlem.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 pexmidlem.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 pexmidlem.p ⊢ + = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
5 pexmidlem.o ⊢ ⊥ = ( ⊥𝑃 ‘ 𝐾 )
6 pexmidlem.m ⊢ 𝑀 = ( 𝑋 + { 𝑝 } )
7 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8 7 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
9 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑋 ⊆ 𝐴 )
10 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
11 simprl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑋 ≠ ∅ )
12 inss2 ⊢ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ⊆ 𝑀
13 12 sseli ⊢ ( 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) → 𝑞 ∈ 𝑀 )
14 13 6 eleqtrdi ⊢ ( 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) → 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
15 14 ad2antll ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) )
16 1 2 3 4 elpaddatiN ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( 𝑋 + { 𝑝 } ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
17 8 9 10 11 15 16 syl32anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
18 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) )
19 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑟 ∈ 𝑋 )
20 inss1 ⊢ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ⊆ ( ⊥ ‘ 𝑋 )
21 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) )
22 20 21 sseldi ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) )
23 simp3r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) )
24 1 2 3 4 5 6 pexmidlem3N ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
25 18 19 22 23 24 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )
26 25 3expia ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) )
27 26 expd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → ( 𝑟 ∈ 𝑋 → ( 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) ) )
28 27 rexlimdv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝑋 𝑞 ≤ ( 𝑟 ∨ 𝑝 ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) ) )
29 17 28 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ ( ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ∩ 𝑀 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝑋 + ( ⊥ ‘ 𝑋 ) ) )