Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2atm.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
2atm.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
2atm.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
2atm.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
7 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
8 |
5
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
10 |
9 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
11 |
6 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
13 |
9 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
9 4
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
7 15
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
|
simp31l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
18 |
9 1 2
|
latnlej1r |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 ) |
19 |
8 11 14 16 17 18
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑅 ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
21 |
2 4 20
|
llni2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |
22 |
5 6 7 19 21
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |
23 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
24 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
25 |
|
simp31r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 ) |
26 |
2 4 20
|
llni2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |
27 |
5 23 24 25 26
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) |
29 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) |
30 |
|
eqid |
⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) |
31 |
1 2 3 30 4
|
ps-2b |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
32 |
5 6 12 7 23 24 17 25 29 31
|
syl333anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) |
33 |
3 30 4 20
|
2llnmat |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ≠ ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |
34 |
5 22 27 28 32 33
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≠ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑇 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ∈ 𝐴 ) |