Theorem r3ex

Description: Triple existential quantification. (Contributed by AV, 21-Jul-2025)

	Ref	Expression
Assertion	r3ex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2ex	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ) )
2		df-rex	⊢ ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) )
3	2	anbi2i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) )
4		19.42v	⊢ ( ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) )
5		anass	⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) )
6	5	bicomi	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
7		df-3an	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) )
8	7	bicomi	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) )
9	6 8	bianbi	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
10	9	exbii	⊢ ( ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
11	3 4 10	3bitr2i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
12	11	2exbii	⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )
13	1 12	bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ∃ 𝑧 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶 ) ∧ 𝜑 ) )