Theorem reltsub1

Description: Subtraction from both sides of 'less than'. Compare ltsub1 . (Contributed by SN, 13-Feb-2024)

	Ref	Expression
Assertion	reltsub1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) < ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rersubcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
2	1	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
3		rersubcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
4	3	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ∈ ℝ )
5		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
6	2 4 5	ltadd2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) < ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ↔ ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) < ( 𝐶 + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) ) )
7		repncan3	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
8	7	ancoms	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
9	8	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐴 )
10		repncan3	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐵 )
11	10	ancoms	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐵 )
12	11	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) = 𝐵 )
13	9 12	breq12d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐶 + ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) ) < ( 𝐶 + ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) ↔ 𝐴 < 𝐵 ) )
14	6 13	bitr2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ ( 𝐴 −ℝ 𝐶 ) < ( 𝐵 −ℝ 𝐶 ) ) )