Theorem reltsubadd2

Description: 'Less than' relationship between addition and subtraction. Compare ltsubadd2 . (Contributed by SN, 13-Feb-2024)

	Ref	Expression
Assertion	reltsubadd2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < 𝐶 ↔ 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
2		readdcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
3	2	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ )
4		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ )
5		reltsub1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < ( ( 𝐵 + 𝐶 ) −ℝ 𝐵 ) ) )
6	1 3 4 5	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < ( ( 𝐵 + 𝐶 ) −ℝ 𝐵 ) ) )
7		repncan2	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) −ℝ 𝐵 ) = 𝐶 )
8	7	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 + 𝐶 ) −ℝ 𝐵 ) = 𝐶 )
9	8	breq2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < ( ( 𝐵 + 𝐶 ) −ℝ 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < 𝐶 ) )
10	6 9	bitr2d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 −ℝ 𝐵 ) < 𝐶 ↔ 𝐴 < ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )