Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rmyluc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
2 |
|
frmy |
⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ |
3 |
2
|
fovcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
4 |
3
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
5 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
7 |
4 6
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) = ( 2 · ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
9 |
|
2cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℂ ) |
10 |
9 6 4
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) = ( 2 · ( 𝐴 · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
11 |
8 10
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) = ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) = ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
13 |
1 12
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) = ( ( ( 2 · 𝐴 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) − ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |