Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
s1val |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 〈“ 𝑆 ”〉 = { 〈 0 , 𝑆 〉 } ) |
2 |
|
0cn |
⊢ 0 ∈ ℂ |
3 |
|
xpsng |
⊢ ( ( 0 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( { 0 } × { 𝑆 } ) = { 〈 0 , 𝑆 〉 } ) |
4 |
2 3
|
mpan |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → ( { 0 } × { 𝑆 } ) = { 〈 0 , 𝑆 〉 } ) |
5 |
1 4
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 〈“ 𝑆 ”〉 = ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) |
6 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → 〈“ 𝑆 ”〉 = ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) |
7 |
6
|
coeq2d |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝐹 ∘ 〈“ 𝑆 ”〉 ) = ( 𝐹 ∘ ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) ) |
8 |
|
fvex |
⊢ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ∈ V |
9 |
|
s1val |
⊢ ( ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ∈ V → 〈“ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ”〉 = { 〈 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) 〉 } ) |
10 |
8 9
|
ax-mp |
⊢ 〈“ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ”〉 = { 〈 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) 〉 } |
11 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
12 |
11 8
|
xpsn |
⊢ ( { 0 } × { ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) } ) = { 〈 0 , ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) 〉 } |
13 |
10 12
|
eqtr4i |
⊢ 〈“ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ”〉 = ( { 0 } × { ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) } ) |
14 |
|
ffn |
⊢ ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴 ) |
15 |
|
id |
⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
16 |
|
fcoconst |
⊢ ( ( 𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ∘ ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) = ( { 0 } × { ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) } ) ) |
17 |
14 15 16
|
syl2anr |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝐹 ∘ ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) = ( { 0 } × { ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) } ) ) |
18 |
13 17
|
eqtr4id |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → 〈“ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ”〉 = ( 𝐹 ∘ ( { 0 } × { 𝑆 } ) ) ) |
19 |
7 18
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) → ( 𝐹 ∘ 〈“ 𝑆 ”〉 ) = 〈“ ( 𝐹 ‘ 𝑆 ) ”〉 ) |