Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neips.1 |
⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽 |
2 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ 𝑋 ) ) → 𝑀 ⊆ 𝑋 ) |
3 |
|
neii2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁 ) ) |
4 |
|
sstr2 |
⊢ ( 𝑔 ⊆ 𝑁 → ( 𝑁 ⊆ 𝑀 → 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) |
5 |
4
|
com12 |
⊢ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 → ( 𝑔 ⊆ 𝑁 → 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) |
6 |
5
|
anim2d |
⊢ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 → ( ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁 ) → ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) ) |
7 |
6
|
reximdv |
⊢ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 → ( ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁 ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) ) |
8 |
3 7
|
mpan9 |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑁 ⊆ 𝑀 ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) |
9 |
8
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ 𝑋 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) |
10 |
1
|
neiss2 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 ) |
11 |
1
|
isnei |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ) → ( 𝑀 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ↔ ( 𝑀 ⊆ 𝑋 ∧ ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) ) ) |
12 |
10 11
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) → ( 𝑀 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ↔ ( 𝑀 ⊆ 𝑋 ∧ ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) ) ) |
13 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ 𝑋 ) ) → ( 𝑀 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ↔ ( 𝑀 ⊆ 𝑋 ∧ ∃ 𝑔 ∈ 𝐽 ( 𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑀 ) ) ) ) |
14 |
2 9 13
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝑁 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑀 ⊆ 𝑋 ) ) → 𝑀 ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) |