Theorem submuladdd

Description: The product of a difference and a sum. Cf. addmulsub . (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	submuladdd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	submuladdd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	submuladdd.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	submuladdd.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
Assertion	submuladdd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submuladdd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2		submuladdd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3		submuladdd.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
4		submuladdd.4	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
5	1 2	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
6	3 4	addcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 + 𝐷 ) ∈ ℂ )
7	5 6	mulcomd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
8		addmulsub	⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) )
9	3 4 1 2 8	syl22anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 + 𝐷 ) · ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) )
10	3 1	mulcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐶 ) )
11	4 1	mulcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝐷 ) )
12	10 11	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) )
13	3 2	mulcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) )
14	4 2	mulcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐵 ) = ( 𝐵 · 𝐷 ) )
15	13 14	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) )
16	12 15	oveq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 · 𝐴 ) + ( 𝐷 · 𝐴 ) ) − ( ( 𝐶 · 𝐵 ) + ( 𝐷 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )
17	7 9 16	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) · ( 𝐶 + 𝐷 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · 𝐷 ) ) − ( ( 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝐵 · 𝐷 ) ) ) )