Theorem supnfcls

Description: The filter of supersets of X \ U does not cluster at any point of the open set U . (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	supnfcls	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjdif	⊢ ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) = ∅
2		simpr	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )
3		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝑈 ∈ 𝐽 )
4		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐴 ∈ 𝑈 )
5		sseq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) )
6		difss	⊢ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋
7		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
8		toponmax	⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐽 )
9		elpw2g	⊢ ( 𝑋 ∈ 𝐽 → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋 ) )
10	7 8 9	3syl	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑋 ) )
11	6 10	mpbiri	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ 𝒫 𝑋 )
12		ssidd	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) )
13	5 11 12	elrabd	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } )
14		fclsopni	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ∈ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ )
15	2 3 4 13 14	syl13anc	⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ )
16	15	ex	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) → ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) ≠ ∅ ) )
17	16	necon2bd	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ( ( 𝑈 ∩ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ) = ∅ → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) ) )
18	1 17	mpi	⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ) → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝑋 ∖ 𝑈 ) ⊆ 𝑥 } ) )