Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tglineintmo.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
tglineintmo.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
tglineintmo.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
tglineintmo.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
5 |
|
tglineinteq.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
tglineinteq.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
tglineinteq.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
tglineinteq.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
tglineinteq.e |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 9
|
ncolne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
11 |
1 2 3 4 5 6 10
|
tglinerflx1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ) |
12 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 = 𝐷 ) |
13 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
14 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
15 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
17 |
1 3 2 13 14 15 16
|
tglngne |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ≠ 𝐷 ) |
18 |
17
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ≠ 𝐷 ) |
19 |
18
|
neneqd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → ¬ 𝐶 = 𝐷 ) |
20 |
12 19
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷 ) → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
21 |
|
nelne1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ≠ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
22 |
11 20 21
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷 ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ≠ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
23 |
4
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
24 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
25 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
26 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
27 |
|
pm2.46 |
⊢ ( ¬ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) → ¬ 𝐵 = 𝐶 ) |
28 |
9 27
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶 ) |
29 |
28
|
neqned |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
30 |
29
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
31 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
32 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ≠ 𝐷 ) |
33 |
1 2 3 23 25 31 32
|
tglinerflx1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
34 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
35 |
33 34
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ) |
36 |
1 3 2 23 26 24 35
|
tglngne |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
37 |
1 2 3 23 24 25 26 30 35 36
|
lnrot1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ) |
38 |
37
|
orcd |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
39 |
9
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) → ¬ ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐿 𝐶 ) ∨ 𝐵 = 𝐶 ) ) |
40 |
38 39
|
pm2.65da |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) → ¬ ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) = ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
41 |
40
|
neqned |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ≠ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |
42 |
22 41
|
pm2.61dane |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 𝐿 𝐵 ) ≠ ( 𝐶 𝐿 𝐷 ) ) |