Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
trleile.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
trleile.l |
⊢ ≤ = ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) |
3 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
4 |
1 3
|
tleile |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) |
5 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
6 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) |
7 |
5 6
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 ) |
8 |
|
brin |
⊢ ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∧ 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
9 |
8
|
rbaib |
⊢ ( 𝑋 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑌 → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) ) |
11 |
5
|
ancomd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) |
12 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 ↔ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ) |
13 |
11 12
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 ) |
14 |
|
brin |
⊢ ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ ( 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ∧ 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 ) ) |
15 |
14
|
rbaib |
⊢ ( 𝑌 ( 𝐵 × 𝐵 ) 𝑋 → ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) |
16 |
13 15
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ↔ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) |
17 |
10 16
|
orbi12d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑋 ) ) ) |
18 |
4 17
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) ) |
19 |
2
|
breqi |
⊢ ( 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ) |
20 |
2
|
breqi |
⊢ ( 𝑌 ≤ 𝑋 ↔ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) |
21 |
19 20
|
orbi12i |
⊢ ( ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 ≤ 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑌 ∨ 𝑌 ( ( le ‘ 𝐾 ) ∩ ( 𝐵 × 𝐵 ) ) 𝑋 ) ) |
22 |
18 21
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ≤ 𝑌 ∨ 𝑌 ≤ 𝑋 ) ) |