Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝐴 ∈ V ) |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝑦 ∈ V ) |
4 |
|
df-br |
⊢ ( 𝐴 𝐹 𝑦 ↔ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) |
5 |
4
|
biimpri |
⊢ ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → 𝐴 𝐹 𝑦 ) |
6 |
5
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝐴 𝐹 𝑦 ) |
7 |
|
breldmg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ∧ 𝐴 𝐹 𝑦 ) → 𝐴 ∈ dom 𝐹 ) |
8 |
1 3 6 7
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝐴 ∈ dom 𝐹 ) |
9 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → 𝐴 ∈ dom 𝐹 ) |
10 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } ↔ 𝑥 = 𝐴 ) |
11 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝐴 = 𝑥 → ( 𝐴 𝐹 𝑦 ↔ 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
12 |
4 11
|
syl5bbr |
⊢ ( 𝐴 = 𝑥 → ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
13 |
12
|
eqcoms |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ↔ 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
14 |
13
|
eubidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ↔ ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
15 |
14
|
biimpd |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
16 |
10 15
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } → ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
17 |
16
|
com12 |
⊢ ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } → ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 } → ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) ) |
19 |
18
|
ralrimiv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ∀ 𝑥 ∈ { 𝐴 } ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) |
20 |
|
fnres |
⊢ ( ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) Fn { 𝐴 } ↔ ∀ 𝑥 ∈ { 𝐴 } ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 ) |
21 |
|
fnfun |
⊢ ( ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) Fn { 𝐴 } → Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) |
22 |
20 21
|
sylbir |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ { 𝐴 } ∃! 𝑦 𝑥 𝐹 𝑦 → Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) |
23 |
19 22
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) |
24 |
9 23
|
jca |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) ) |
25 |
24
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 → ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) ) ) |
26 |
8 25
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) ) ) |
27 |
26
|
impr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) ) → ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) ) |
28 |
|
df-dfat |
⊢ ( 𝐹 defAt 𝐴 ↔ ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) ) |
29 |
|
afvfundmfveq |
⊢ ( 𝐹 defAt 𝐴 → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
30 |
28 29
|
sylbir |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ dom 𝐹 ∧ Fun ( 𝐹 ↾ { 𝐴 } ) ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
31 |
27 30
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |
32 |
|
tz6.12 |
⊢ ( ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = 𝑦 ) |
33 |
32
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = 𝑦 ) |
34 |
31 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) |
35 |
34
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ∈ V → ( ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) ) |
36 |
|
eu2ndop1stv |
⊢ ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ V ) |
37 |
36
|
pm2.24d |
⊢ ( ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 → ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) ) |
38 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) ) |
39 |
38
|
com12 |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ V → ( ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) ) |
40 |
35 39
|
pm2.61i |
⊢ ( ( 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ∧ ∃! 𝑦 〈 𝐴 , 𝑦 〉 ∈ 𝐹 ) → ( 𝐹 ''' 𝐴 ) = 𝑦 ) |