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Theorem veronesev5lem

Description: Lemma for veronesevrowd . Value of the fifth coordinate of the Veronese map at a point. (Contributed by Jiamin Zhao, 17-Aug-2026)

Ref Expression
Hypothesis veronesevrow.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
Assertion veronesev5lem ( 𝜑 → ( ( veronese ‘ 𝑃 ) ‘ 5 ) = ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 veronesevrow.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
2 1 veronesevald ⊢ ( 𝜑 → ( veronese ‘ 𝑃 ) = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 6 ) ↦ ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) ) )
3 1re ⊢ 1 ∈ ℝ
4 1lt5 ⊢ 1 < 5
5 3 4 gtneii ⊢ 5 ≠ 1
6 neeq1 ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 𝑥 ≠ 1 ↔ 5 ≠ 1 ) )
7 5 6 mpbiri ⊢ ( 𝑥 = 5 → 𝑥 ≠ 1 )
8 7 neneqd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ¬ 𝑥 = 1 )
9 8 iffalsed ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) = 0 )
10 9 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) = ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) )
11 10 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) = ( ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) )
12 iftrue ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) = ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) )
13 12 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) = ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) )
14 13 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) )
15 11 14 oveq12d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) )
16 2re ⊢ 2 ∈ ℝ
17 2lt5 ⊢ 2 < 5
18 16 17 gtneii ⊢ 5 ≠ 2
19 neeq1 ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 𝑥 ≠ 2 ↔ 5 ≠ 2 ) )
20 18 19 mpbiri ⊢ ( 𝑥 = 5 → 𝑥 ≠ 2 )
21 20 neneqd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ¬ 𝑥 = 2 )
22 21 iffalsed ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) = 0 )
23 22 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
24 23 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) = ( ( 0 + 0 ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) )
25 24 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( 0 + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) )
26 3re ⊢ 3 ∈ ℝ
27 3lt5 ⊢ 3 < 5
28 26 27 gtneii ⊢ 5 ≠ 3
29 neeq1 ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 𝑥 ≠ 3 ↔ 5 ≠ 3 ) )
30 28 29 mpbiri ⊢ ( 𝑥 = 5 → 𝑥 ≠ 3 )
31 30 neneqd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ¬ 𝑥 = 3 )
32 31 iffalsed ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) = 0 )
33 32 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( 0 + 0 ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) = ( ( 0 + 0 ) + 0 ) )
34 33 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( 0 + 0 ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) )
35 15 25 34 3eqtrd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) )
36 4re ⊢ 4 ∈ ℝ
37 4lt5 ⊢ 4 < 5
38 36 37 gtneii ⊢ 5 ≠ 4
39 neeq1 ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 𝑥 ≠ 4 ↔ 5 ≠ 4 ) )
40 38 39 mpbiri ⊢ ( 𝑥 = 5 → 𝑥 ≠ 4 )
41 40 neneqd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ¬ 𝑥 = 4 )
42 41 iffalsed ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) = 0 )
43 42 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) )
44 43 oveq1d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) )
45 44 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) )
46 5re ⊢ 5 ∈ ℝ
47 5lt6 ⊢ 5 < 6
48 46 47 ltneii ⊢ 5 ≠ 6
49 neeq1 ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( 𝑥 ≠ 6 ↔ 5 ≠ 6 ) )
50 48 49 mpbiri ⊢ ( 𝑥 = 5 → 𝑥 ≠ 6 )
51 50 neneqd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ¬ 𝑥 = 6 )
52 51 iffalsed ⊢ ( 𝑥 = 5 → if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) = 0 )
53 52 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) )
54 53 oveq2d ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
55 35 45 54 3eqtrd ⊢ ( 𝑥 = 5 → ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
56 55 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
57 0red ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → 0 ∈ ℝ )
58 57 57 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + 0 ) ∈ ℝ )
59 58 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + 0 ) ∈ ℂ )
60 59 addridd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( 0 + 0 ) + 0 ) = ( 0 + 0 ) )
61 60 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) = ( ( 0 + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
62 00id ⊢ ( 0 + 0 ) = 0
63 62 a1i ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + 0 ) = 0 )
64 63 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( 0 + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) = ( 0 + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
65 61 64 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) = ( 0 + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) )
66 1 rr3fv2cld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
67 66 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 𝑃 ‘ 2 ) ∈ ℝ )
68 1 rr3fv3cld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ‘ 3 ) ∈ ℝ )
69 68 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 𝑃 ‘ 3 ) ∈ ℝ )
70 67 69 remulcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ∈ ℝ )
71 57 70 readdcld ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ )
72 71 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℂ )
73 72 addridd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) = ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) )
74 73 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) = ( 0 + ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) ) )
75 70 recnd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ∈ ℂ )
76 75 addlidd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) = ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) )
77 76 oveq2d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( 0 + ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) ) = ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) )
78 65 74 77 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( ( 0 + 0 ) + 0 ) + ( ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) + 0 ) ) = ( 0 + ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ) )
79 56 78 76 3eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 5 ) → ( ( ( if ( 𝑥 = 1 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) ↑ 2 ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 2 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 3 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) ↑ 2 ) , 0 ) ) + ( ( if ( 𝑥 = 4 , ( ( 𝑃 ‘ 1 ) · ( 𝑃 ‘ 2 ) ) , 0 ) + if ( 𝑥 = 5 , ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) , 0 ) ) + if ( 𝑥 = 6 , ( ( 𝑃 ‘ 3 ) · ( 𝑃 ‘ 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) )
80 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
81 6nn ⊢ 6 ∈ ℕ
82 81 nnzi ⊢ 6 ∈ ℤ
83 82 a1i ⊢ ( 𝜑 → 6 ∈ ℤ )
84 5nn ⊢ 5 ∈ ℕ
85 84 nnzi ⊢ 5 ∈ ℤ
86 85 a1i ⊢ ( 𝜑 → 5 ∈ ℤ )
87 3 46 4 ltleii ⊢ 1 ≤ 5
88 87 a1i ⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 5 )
89 6re ⊢ 6 ∈ ℝ
90 46 89 47 ltleii ⊢ 5 ≤ 6
91 90 a1i ⊢ ( 𝜑 → 5 ≤ 6 )
92 80 83 86 88 91 elfzd ⊢ ( 𝜑 → 5 ∈ ( 1 ... 6 ) )
93 66 68 remulcld ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) ∈ ℝ )
94 2 79 92 93 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( ( veronese ‘ 𝑃 ) ‘ 5 ) = ( ( 𝑃 ‘ 2 ) · ( 𝑃 ‘ 3 ) ) )