Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rexr |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
2 |
|
xleadd1a |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
3 |
2
|
ex |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) ) |
4 |
1 3
|
syl3an3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
6 |
1
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
7 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
9 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
10 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
11 |
9 6 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
12 |
|
xnegcl |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ* → -𝑒 𝐶 ∈ ℝ* ) |
13 |
6 12
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → -𝑒 𝐶 ∈ ℝ* ) |
14 |
|
xleadd1a |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ∧ -𝑒 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ≤ ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ) |
15 |
14
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ∧ -𝑒 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ≤ ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ) ) |
16 |
8 11 13 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ≤ ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ) ) |
17 |
|
xpncan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) = 𝐴 ) |
18 |
17
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) = 𝐴 ) |
19 |
|
xpncan |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) = 𝐵 ) |
20 |
19
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) = 𝐵 ) |
21 |
18 20
|
breq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ≤ ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 𝐶 ) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) |
22 |
16 21
|
sylibd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) ) |
23 |
4 22
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) ) |