Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ ) |
4 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
5 |
1 2 3 4
|
leadd1dd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
6 |
1 3
|
rexaddd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐴 + 𝐶 ) ) |
7 |
2 3
|
rexaddd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
8 |
5 6 7
|
3brtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
9 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
10 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
11 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
12 |
9 10 11
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
14 |
|
pnfge |
⊢ ( ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ +∞ ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ +∞ ) |
16 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐵 = +∞ → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( +∞ +𝑒 𝐶 ) ) |
17 |
|
rexr |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
18 |
|
renemnf |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ -∞ ) |
19 |
|
xaddpnf2 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞ ) → ( +∞ +𝑒 𝐶 ) = +∞ ) |
20 |
17 18 19
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( +∞ +𝑒 𝐶 ) = +∞ ) |
21 |
20
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) → ( +∞ +𝑒 𝐶 ) = +∞ ) |
22 |
16 21
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 = +∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = +∞ ) |
23 |
15 22
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
24 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
25 |
24
|
xrleidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ) |
26 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
27 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 = -∞ ) |
28 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
29 |
|
mnfle |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴 ) |
30 |
28 29
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → -∞ ≤ 𝐴 ) |
31 |
27 30
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) |
32 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
33 |
|
xrletri3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) ) |
34 |
9 32 33
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) ) |
35 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) ) |
36 |
26 31 35
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → 𝐴 = 𝐵 ) |
37 |
36
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
38 |
25 37
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
39 |
38
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
40 |
|
elxr |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞ ) ) |
41 |
32 40
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞ ) ) |
42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞ ) ) |
43 |
8 23 39 42
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
44 |
43
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
45 |
12
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
46 |
45
|
xrleidd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ) |
47 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → 𝐴 ≤ 𝐵 ) |
48 |
|
pnfge |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ≤ +∞ ) |
49 |
32 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → 𝐵 ≤ +∞ ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → 𝐵 ≤ +∞ ) |
51 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → 𝐴 = +∞ ) |
52 |
50 51
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → 𝐵 ≤ 𝐴 ) |
53 |
34
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 = 𝐵 ↔ ( 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴 ) ) ) |
54 |
47 52 53
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → 𝐴 = 𝐵 ) |
55 |
54
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
56 |
46 55
|
breqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
57 |
56
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
58 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = -∞ → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( -∞ +𝑒 𝐶 ) ) |
59 |
|
renepnf |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≠ +∞ ) |
60 |
|
xaddmnf2 |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞ ) → ( -∞ +𝑒 𝐶 ) = -∞ ) |
61 |
17 59 60
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → ( -∞ +𝑒 𝐶 ) = -∞ ) |
62 |
61
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( -∞ +𝑒 𝐶 ) = -∞ ) |
63 |
58 62
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = -∞ ) |
64 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
65 |
32 10 64
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
66 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 = -∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
67 |
|
mnfle |
⊢ ( ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* → -∞ ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
68 |
66 67
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 = -∞ ) → -∞ ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
69 |
63 68
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) ∧ 𝐴 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
70 |
|
elxr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ* ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞ ) ) |
71 |
9 70
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞ ) ) |
72 |
71
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞ ) ) |
73 |
44 57 69 72
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
74 |
38
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
75 |
12
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
76 |
75 14
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ +∞ ) |
77 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → 𝐶 = +∞ ) |
78 |
77
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐵 +𝑒 +∞ ) ) |
79 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
80 |
|
xaddpnf1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 +∞ ) = +∞ ) |
81 |
79 80
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 +∞ ) = +∞ ) |
82 |
78 81
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) = +∞ ) |
83 |
76 82
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) ∧ 𝐵 ≠ -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
84 |
74 83
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
85 |
56
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 = +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
86 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → 𝐶 = -∞ ) |
87 |
86
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) ) |
88 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
89 |
|
xaddmnf1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) |
90 |
88 89
|
sylan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 -∞ ) = -∞ ) |
91 |
87 90
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) = -∞ ) |
92 |
65
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
93 |
92 67
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → -∞ ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
94 |
91 93
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) ∧ 𝐴 ≠ +∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
95 |
85 94
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) ∧ 𝐶 = -∞ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |
96 |
|
elxr |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ* ↔ ( 𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞ ) ) |
97 |
10 96
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞ ) ) |
98 |
73 84 95 97
|
mpjao3dan |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 +𝑒 𝐶 ) ) |