MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinon Unicode version

Theorem iinon 7030
Description: The nonempty indexed intersection of a class of ordinal numbers (x) is an ordinal number. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
iinon
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iinon
StepHypRef Expression
1 dfiin3g 5261 . . 3
21adantr 465 . 2
3 eqid 2457 . . . . 5
43rnmptss 6060 . . . 4
54adantr 465 . . 3
6 dm0rn0 5224 . . . . . 6
7 dmmptg 5509 . . . . . . 7
87eqeq1d 2459 . . . . . 6
96, 8syl5bbr 259 . . . . 5
109necon3bid 2715 . . . 4
1110biimpar 485 . . 3
12 oninton 6635 . . 3
135, 11, 12syl2anc 661 . 2
142, 13eqeltrd 2545 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475   c0 3784  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331  e.cmpt 4510   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601
  Copyright terms: Public domain W3C validator