Theorem isfin3ds 8730

Description: Property of a III-finite set (descending sequence version). (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
isfin3ds.f

Assertion

Ref	Expression
isfin3ds

Distinct variable group:   ,,,,,

Proof of Theorem isfin3ds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 4948	. . . . . . . . 9
2	1	fveq2d 5875	. . . . . . . 8
3		fveq2 5871	. . . . . . . 8
4	2, 3	sseq12d 3532	. . . . . . 7
5	4	cbvralv 3084	. . . . . 6
6		fveq1 5870	. . . . . . . 8
7		fveq1 5870	. . . . . . . 8
8	6, 7	sseq12d 3532	. . . . . . 7
9	8	ralbidv 2896	. . . . . 6
10	5, 9	syl5bb 257	. . . . 5
11		rneq 5233	. . . . . . 7
12	11	inteqd 4291	. . . . . 6
13	12, 11	eleq12d 2539	. . . . 5
14	10, 13	imbi12d 320	. . . 4
15	14	cbvralv 3084	. . 3
16		pweq 4015	. . . . 5
17	16	oveq1d 6311	. . . 4
18	17	raleqdv 3060	. . 3
19	15, 18	syl5bb 257	. 2
20		isfin3ds.f	. 2
21	19, 20	elab2g 3248	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  A.wral 2807  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  |^|cint 4286  succsuc 4885  rancrn 5005  `cfv 5593  (class class class)co 6296  com 6700  cmap 7439

This theorem is referenced by:  ssfin3ds  8731  fin23lem17  8739  fin23lem39  8751  fin23lem40  8752  isf32lem12  8765  isfin3-3  8769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-suc 4889  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fv 5601  df-ov 6299