Theorem ixxdisj 11573

Description: Split an interval into disjoint pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixxun.2
ixxun.3

Assertion

Ref	Expression
ixxdisj

Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,O   ,,,,   ,P   ,,,   ,S,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ixxdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3686	. . . 4
2		ixx.1	. . . . . . . . . . 11
3	2	elixx1 11567	. . . . . . . . . 10
4	3	3adant3 1016	. . . . . . . . 9
5	4	biimpa 484	. . . . . . . 8
6	5	simp3d 1010	. . . . . . 7
7	6	adantrr 716	. . . . . 6
8		ixxun.2	. . . . . . . . . . . 12
9	8	elixx1 11567	. . . . . . . . . . 11
10	9	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10
11	10	biimpa 484	. . . . . . . . 9
12	11	simp2d 1009	. . . . . . . 8
13		simpl2 1000	. . . . . . . . 9
14	11	simp1d 1008	. . . . . . . . 9
15		ixxun.3	. . . . . . . . 9
16	13, 14, 15	syl2anc 661	. . . . . . . 8
17	12, 16	mpbid 210	. . . . . . 7
18	17	adantrl 715	. . . . . 6
19	7, 18	pm2.65da 576	. . . . 5
20	19	pm2.21d 106	. . . 4
21	1, 20	syl5bi 217	. . 3
22	21	ssrdv 3509	. 2
23		ss0 3816	. 2
24	22, 23	syl 16	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  cxr 9648

This theorem is referenced by:  ioodisj  11679  lecldbas  19720  icopnfcld  21275  iocmnfcld  21276  ioombl  21975  ismbf3d  22061  joiniooico  27585  asindmre  30102  dvasin  30103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-xr 9653