Theorem ixxssixx 11572

Description: An interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1
ixx.2
ixx.3
ixx.4

Assertion

Ref	Expression
ixxssixx

Distinct variable groups:   ,,,,   ,O   ,,,,   ,P   ,,,   ,S,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ixxssixx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixx.1	. . . 4
2	1	elmpt2cl 6517	. . 3
3		simp1 996	. . . . . 6
4	3	a1i 11	. . . . 5
5		simpl 457	. . . . . 6
6		3simpa 993	. . . . . 6
7		ixx.3	. . . . . . 7
8	7	expimpd 603	. . . . . 6
9	5, 6, 8	syl2im 38	. . . . 5
10		simpr 461	. . . . . 6
11		3simpb 994	. . . . . 6
12		ixx.4	. . . . . . . 8
13	12	ancoms 453	. . . . . . 7
14	13	expimpd 603	. . . . . 6
15	10, 11, 14	syl2im 38	. . . . 5
16	4, 9, 15	3jcad 1177	. . . 4
17	1	elixx1 11567	. . . 4
18		ixx.2	. . . . 5
19	18	elixx1 11567	. . . 4
20	16, 17, 19	3imtr4d 268	. . 3
21	2, 20	mpcom 36	. 2
22	21	ssriv 3507	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  e.cmpt2 6298  cxr 9648

This theorem is referenced by:  ioossicc  11639  icossicc  11640  iocssicc  11641  ioossico  11642  dvloglem  23029  ioossioc  31524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-xr 9653