Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4sq.1 |
|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) } |
2 |
|
4sq.2 |
|- ( ph -> N e. NN ) |
3 |
|
4sq.3 |
|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) ) |
4 |
|
4sq.4 |
|- ( ph -> P e. Prime ) |
5 |
|
4sq.5 |
|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S ) |
6 |
|
4sq.6 |
|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S } |
7 |
|
4sq.7 |
|- M = inf ( T , RR , < ) |
8 |
|
4sq.m |
|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
9 |
|
4sq.a |
|- ( ph -> A e. ZZ ) |
10 |
|
4sq.b |
|- ( ph -> B e. ZZ ) |
11 |
|
4sq.c |
|- ( ph -> C e. ZZ ) |
12 |
|
4sq.d |
|- ( ph -> D e. ZZ ) |
13 |
|
4sq.e |
|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) |
14 |
|
4sq.f |
|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) |
15 |
|
4sq.g |
|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) |
16 |
|
4sq.h |
|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) ) |
17 |
|
4sq.r |
|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) |
18 |
|
4sq.p |
|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) |
19 |
|
eluz2nn |
|- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN ) |
20 |
8 19
|
syl |
|- ( ph -> M e. NN ) |
21 |
20
|
nnred |
|- ( ph -> M e. RR ) |
22 |
21
|
resqcld |
|- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR ) |
23 |
22
|
rehalfcld |
|- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR ) |
24 |
23
|
rehalfcld |
|- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR ) |
25 |
24
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC ) |
26 |
9 20 13
|
4sqlem5 |
|- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) ) |
27 |
26
|
simpld |
|- ( ph -> E e. ZZ ) |
28 |
|
zsqcl |
|- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ ) |
30 |
29
|
zred |
|- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR ) |
31 |
30
|
recnd |
|- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC ) |
32 |
10 20 14
|
4sqlem5 |
|- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) ) |
33 |
32
|
simpld |
|- ( ph -> F e. ZZ ) |
34 |
|
zsqcl |
|- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ ) |
35 |
33 34
|
syl |
|- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ ) |
36 |
35
|
zred |
|- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR ) |
37 |
36
|
recnd |
|- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC ) |
38 |
25 25 31 37
|
addsub4d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) |
39 |
23
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC ) |
40 |
39
|
2halvesd |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) |
41 |
40
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) |
42 |
38 41
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) |
44 |
22
|
recnd |
|- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC ) |
45 |
44
|
2halvesd |
|- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) ) |
47 |
21
|
recnd |
|- ( ph -> M e. CC ) |
48 |
47
|
sqvald |
|- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) ) |
49 |
48
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) ) |
50 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> R = M ) |
51 |
17 50
|
syl5eqr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = M ) |
52 |
51
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( M x. M ) ) |
53 |
30 36
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR ) |
54 |
11 20 15
|
4sqlem5 |
|- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) ) |
55 |
54
|
simpld |
|- ( ph -> G e. ZZ ) |
56 |
|
zsqcl |
|- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ ) |
57 |
55 56
|
syl |
|- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ ) |
58 |
57
|
zred |
|- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR ) |
59 |
12 20 16
|
4sqlem5 |
|- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) ) |
60 |
59
|
simpld |
|- ( ph -> H e. ZZ ) |
61 |
|
zsqcl |
|- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ ) |
62 |
60 61
|
syl |
|- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ ) |
63 |
62
|
zred |
|- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR ) |
64 |
58 63
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR ) |
65 |
53 64
|
readdcld |
|- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
66 |
65
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC ) |
67 |
20
|
nnne0d |
|- ( ph -> M =/= 0 ) |
68 |
66 47 67
|
divcan1d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
69 |
68
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
70 |
49 52 69
|
3eqtr2rd |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( M ^ 2 ) ) |
71 |
46 70
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) ) |
72 |
53
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC ) |
73 |
64
|
recnd |
|- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC ) |
74 |
39 39 72 73
|
addsub4d |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) |
76 |
44
|
subidd |
|- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 ) |
77 |
76
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 ) |
78 |
71 75 77
|
3eqtr3d |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) |
79 |
23 53
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
80 |
9 20 13
|
4sqlem7 |
|- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
81 |
10 20 14
|
4sqlem7 |
|- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
82 |
30 36 24 24 80 81
|
le2addd |
|- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
83 |
82 40
|
breqtrd |
|- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) |
84 |
23 53
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) |
85 |
83 84
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) |
86 |
23 64
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR ) |
87 |
11 20 15
|
4sqlem7 |
|- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
88 |
12 20 16
|
4sqlem7 |
|- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
89 |
58 63 24 24 87 88
|
le2addd |
|- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
90 |
89 40
|
breqtrd |
|- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) |
91 |
23 64
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) |
92 |
90 91
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
93 |
|
add20 |
|- ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) ) |
94 |
79 85 86 92 93
|
syl22anc |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) ) |
95 |
94
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) |
96 |
78 95
|
syldan |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) |
97 |
96
|
simpld |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) |
98 |
43 97
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) |
99 |
24 30
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR ) |
100 |
24 30
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) <-> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
101 |
80 100
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) |
102 |
24 36
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR ) |
103 |
24 36
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) <-> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
104 |
81 103
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) |
105 |
|
add20 |
|- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
106 |
99 101 102 104 105
|
syl22anc |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
107 |
106
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) |
108 |
98 107
|
syldan |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) |
109 |
58
|
recnd |
|- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC ) |
110 |
63
|
recnd |
|- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC ) |
111 |
25 25 109 110
|
addsub4d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) |
112 |
40
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
113 |
111 112
|
eqtr3d |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
114 |
113
|
adantr |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) |
115 |
96
|
simprd |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) |
116 |
114 115
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) |
117 |
24 58
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR ) |
118 |
24 58
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) <-> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
119 |
87 118
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) |
120 |
24 63
|
resubcld |
|- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR ) |
121 |
24 63
|
subge0d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) <-> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
122 |
88 121
|
mpbird |
|- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) |
123 |
|
add20 |
|- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
124 |
117 119 120 122 123
|
syl22anc |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
125 |
124
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) |
126 |
116 125
|
syldan |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) |
127 |
108 126
|
jca |
|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) ) |