Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4sq.1 |
⊢ 𝑆 = { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ∃ 𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝑧 ↑ 2 ) + ( 𝑤 ↑ 2 ) ) ) } |
2 |
|
4sq.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
4sq.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 = ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) |
4 |
|
4sq.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ ) |
5 |
|
4sq.5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ... ( 2 · 𝑁 ) ) ⊆ 𝑆 ) |
6 |
|
4sq.6 |
⊢ 𝑇 = { 𝑖 ∈ ℕ ∣ ( 𝑖 · 𝑃 ) ∈ 𝑆 } |
7 |
|
4sq.7 |
⊢ 𝑀 = inf ( 𝑇 , ℝ , < ) |
8 |
|
4sq.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
9 |
|
4sq.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ ) |
10 |
|
4sq.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ ) |
11 |
|
4sq.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ ) |
12 |
|
4sq.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ ) |
13 |
|
4sq.e |
⊢ 𝐸 = ( ( ( 𝐴 + ( 𝑀 / 2 ) ) mod 𝑀 ) − ( 𝑀 / 2 ) ) |
14 |
|
4sq.f |
⊢ 𝐹 = ( ( ( 𝐵 + ( 𝑀 / 2 ) ) mod 𝑀 ) − ( 𝑀 / 2 ) ) |
15 |
|
4sq.g |
⊢ 𝐺 = ( ( ( 𝐶 + ( 𝑀 / 2 ) ) mod 𝑀 ) − ( 𝑀 / 2 ) ) |
16 |
|
4sq.h |
⊢ 𝐻 = ( ( ( 𝐷 + ( 𝑀 / 2 ) ) mod 𝑀 ) − ( 𝑀 / 2 ) ) |
17 |
|
4sq.r |
⊢ 𝑅 = ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) / 𝑀 ) |
18 |
|
4sq.p |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 · 𝑃 ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) + ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐶 ↑ 2 ) + ( 𝐷 ↑ 2 ) ) ) ) |
19 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
20 |
8 19
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
21 |
20
|
nnred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
resqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
24 |
23
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
25 |
24
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
26 |
9 20 13
|
4sqlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐸 ) / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
27 |
26
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ ) |
28 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝐸 ∈ ℤ → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
29 |
27 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
30 |
29
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
31 |
30
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
32 |
10 20 14
|
4sqlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐵 − 𝐹 ) / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
33 |
32
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ ) |
34 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝐹 ∈ ℤ → ( 𝐹 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
35 |
33 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
36 |
35
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
37 |
36
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
38 |
25 25 31 37
|
addsub4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) |
39 |
23
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ∈ ℂ ) |
40 |
39
|
2halvesd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) |
41 |
40
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) |
42 |
38 41
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) |
44 |
22
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
45 |
44
|
2halvesd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) + ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) = ( 𝑀 ↑ 2 ) ) |
46 |
45
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) + ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) = ( 𝑀 ↑ 2 ) ) |
47 |
21
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ ) |
48 |
47
|
sqvald |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ↑ 2 ) = ( 𝑀 · 𝑀 ) ) |
49 |
48
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( 𝑀 ↑ 2 ) = ( 𝑀 · 𝑀 ) ) |
50 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → 𝑅 = 𝑀 ) |
51 |
17 50
|
syl5eqr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) / 𝑀 ) = 𝑀 ) |
52 |
51
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) / 𝑀 ) · 𝑀 ) = ( 𝑀 · 𝑀 ) ) |
53 |
30 36
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
54 |
11 20 15
|
4sqlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐶 − 𝐺 ) / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
55 |
54
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ ) |
56 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝐺 ∈ ℤ → ( 𝐺 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
57 |
55 56
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
58 |
57
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
59 |
12 20 16
|
4sqlem5 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐷 − 𝐻 ) / 𝑀 ) ∈ ℤ ) ) |
60 |
59
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ ) |
61 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝐻 ∈ ℤ → ( 𝐻 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
62 |
60 61
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
63 |
62
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
64 |
58 63
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
65 |
53 64
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
66 |
65
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
67 |
20
|
nnne0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≠ 0 ) |
68 |
66 47 67
|
divcan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) / 𝑀 ) · 𝑀 ) = ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
69 |
68
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) / 𝑀 ) · 𝑀 ) = ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
70 |
49 52 69
|
3eqtr2rd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = ( 𝑀 ↑ 2 ) ) |
71 |
46 70
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) + ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( 𝑀 ↑ 2 ) − ( 𝑀 ↑ 2 ) ) ) |
72 |
53
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
73 |
64
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
74 |
39 39 72 73
|
addsub4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) + ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) + ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) − ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
76 |
44
|
subidd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ↑ 2 ) − ( 𝑀 ↑ 2 ) ) = 0 ) |
77 |
76
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( 𝑀 ↑ 2 ) − ( 𝑀 ↑ 2 ) ) = 0 ) |
78 |
71 75 77
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = 0 ) |
79 |
23 53
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
80 |
9 20 13
|
4sqlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
81 |
10 20 14
|
4sqlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
82 |
30 36 24 24 80 81
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
83 |
82 40
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) |
84 |
23 53
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) ) |
85 |
83 84
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) |
86 |
23 64
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
87 |
11 20 15
|
4sqlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
88 |
12 20 16
|
4sqlem7 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) |
89 |
58 63 24 24 87 88
|
le2addd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
90 |
89 40
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) |
91 |
23 64
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) ) ) |
92 |
90 91
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
93 |
|
add20 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) ) ) |
94 |
79 85 86 92 93
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) ) ) |
95 |
94
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) ) |
96 |
78 95
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ∧ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) ) |
97 |
96
|
simpld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐸 ↑ 2 ) + ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
98 |
43 97
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
99 |
24 30
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
100 |
24 30
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝐸 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
101 |
80 100
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ) |
102 |
24 36
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
103 |
24 36
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝐹 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
104 |
81 103
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) |
105 |
|
add20 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
106 |
99 101 102 104 105
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
107 |
106
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) |
108 |
98 107
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) |
109 |
58
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
110 |
63
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐻 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
111 |
25 25 109 110
|
addsub4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
112 |
40
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
113 |
111 112
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
114 |
113
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) |
115 |
96
|
simprd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) − ( ( 𝐺 ↑ 2 ) + ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
116 |
114 115
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) |
117 |
24 58
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
118 |
24 58
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝐺 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
119 |
87 118
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) ) |
120 |
24 63
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
121 |
24 63
|
subge0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ↔ ( 𝐻 ↑ 2 ) ≤ ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) |
122 |
88 121
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) |
123 |
|
add20 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
124 |
117 119 120 122 123
|
syl22anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ↔ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) ) |
125 |
124
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) + ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) ) = 0 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) |
126 |
116 125
|
syldan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) |
127 |
108 126
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀 ) → ( ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐸 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐹 ↑ 2 ) ) = 0 ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐺 ↑ 2 ) ) = 0 ∧ ( ( ( ( 𝑀 ↑ 2 ) / 2 ) / 2 ) − ( 𝐻 ↑ 2 ) ) = 0 ) ) ) |